Question

8．（文）如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD．M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥F-DEM与几何体ADE-BCF的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE中点M，连结CE，交DF于N，连结MN，由三角形中位线定理可得MN∥AC，再由线面平行的判定可得AC∥平面MDF；
（Ⅱ）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，由几何体ADE-BCF的体积V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C求得几何体ADE-BCF的体积，由棱锥体积公式求出三棱锥F-DEM的体积，作比得答案．

解答 解：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．
证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，
∴MN∥AC，
由于MN?平面MDF，又AC?平面MDF，
∴AC∥平面MDF；
（Ⅱ）如图，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，
三棱柱ADE-B′CF的体积为V=${S}_{△ADE}•CD=\frac{1}{2}×1×1×2=1$，
则几何体ADE-BCF的体积V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C=1-$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×1$）×1=$\frac{5}{6}$．
三棱锥F-DEM的体积V_{三棱锥M-DEF}=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×2$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故两部分的体积之比为$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．