Question

9．如图，在各棱长均为4的直四棱柱ACCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为梭BB₁上一点，且BE=3EB₁
（1）求证：平面ACE丄平面BDD₁B₁
（2）平面AED₁将四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁分成上、下两部分．求这两部分的休积之比
（梭台的体积公式为V=$\frac{1}{3}$（S′+$\sqrt{SS′}$+S）h，其中S'，S分別为上、下底面面积，h为棱台的高）

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD为菱形，可得AC⊥BD，再由已知可得BB₁⊥AC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面BDD₁B₁，进一步得到平面ACE丄平面BDD₁B₁；
（2）连接BC₁，过E作EF∥BC₁ 交B₁C₁于F，则B₁F=1，可得平面AED₁ 与侧面BCC₁B₁相交的线段为EF，故平面AED₁ 将四棱柱ACCD-A₁B₁C₁D₁分成上下两部分．由棱台体积求得上部分是三棱台B₁EF-A₁AD₁ 的体积，再由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去上部分的体积得到下部分的体积，则两部分的休积之比可求．

解答 （1）证明：∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
在直四棱柱ACCD-A₁B₁C₁D₁中，∵BB₁⊥底面ABCD，∴BB₁⊥AC，
∵BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又AC?平面ACE，∴平面ACE丄平面BDD₁B₁；
（2）解：连接BC₁，过E作EF∥BC₁ 交B₁C₁于F，则B₁F=1，
则平面AED₁ 与侧面BCC₁B₁相交的线段为EF，
故平面AED₁ 将四棱柱ACCD-A₁B₁C₁D₁分成上下两部分．
上部分是三棱台B₁EF-A₁AD₁，取A₁D₁ 的中点G，连接B₁G，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，即△A₁B₁D₁也为正三角形，
∴B₁G⊥A₁D₁，又AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁G，而A₁D₁∩A₁A=A₁，
∴B₁G⊥平面AA₁D₁，
∵${S}_{△{B}_{1}EF}=\frac{1}{2}$，${S}_{△{A}_{1}A{D}_{1}}=8$，${B}_{1}G=2\sqrt{3}$，
∴${V}_{{B}_{1}EF-{A}_{1}A{D}_{1}}={V}_{上}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}+2+8）×2\sqrt{3}$=$7\sqrt{3}$．
又四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为$32\sqrt{3}$，
∴${V}_{下}=32\sqrt{3}-{V}_{上}=25\sqrt{3}$．
∴$\frac{{V}_{上}}{{V}_{下}}=\frac{7}{25}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．