Question

12．已知f（x）=e^x-ax-1（x∈R）
（1）当a＞0时f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数f'（x）：
（1）利用导数f'（x）＞0和f'（x）＜0，求出x的取值范围即可；
（2）根据f（x）在R内单调递增f'（x）≥0在R上恒成立，求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax-1，x∈R，
∴f'（x）=e^x-a；
（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞lna，
同理令f'（x）＜0，解得x＜lna；
∴f（x）的递增区间是（lna，+∞），单调递减区间（-∞，lna）；…（6分）
（2）∵f（x）在R内单调递增，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
即a≤e^x在R上恒成立；
又∵e^x＞0，
∴a≤0，
即a的取值范围是a≤0．…（12分）

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了不等式恒成立的问题，是综合性题目．