Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，若抛物线上一点P满足$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FM}，|\overrightarrow{PF}$|=3，则点M的坐标为（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-2$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得：p=2，可得抛物线方程为y²=4x，焦点F（1，0）．设P（x₀，y₀），由$|\overrightarrow{PF}|$=3，可得x₀+1=3，解得x₀，可得点P的坐标，利用$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$，即可得出．

解答 解：由题意可得：p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，焦点F（1，0）．
设P（x₀，y₀），
∵$|\overrightarrow{PF}|$=3，
∴x₀+1=3，解得x₀=2，
∴${y}_{0}^{2}$=4×2，解得y₀=$±2\sqrt{2}$，
∴P$（2，±2\sqrt{2}）$．
∵$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FM}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}）$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{OF}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}$=$（\frac{1}{2}，±\sqrt{2}）$．
∴M$（\frac{1}{2}，±\sqrt{2}）$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．