Question

11．已知函数y=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos（$\frac{π}{3}$+2x）（x∈R）．
（1）求函数的周期；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得y=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$结合复合函数单调性可得单调递减区间；同理可得增区间．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得y=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos（$\frac{π}{3}$+2x）
=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-2x）]=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-sin（$\frac{π}{6}$-2x）
=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，π+$\frac{π}{3}$]k∈Z；
同理由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴函数的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]k∈Z．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．