Question

12．如图，ABCD是边长为1的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，PO=1，E是PC的中点． 求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
（3）求直线PA与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OE∥PA，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面为正方形，可得BD⊥AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC⊥平面BDE．
（3）根据直线和平面所成角的定义，找出线面角，根据直角三角形的边角关系进行求解即可．

解答 证明：（1）如图，连接OE
∵O为AC中点，E为PC中点．
∴OE为△PAC的中位线
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE．
（3）∵PO⊥底面ABCD，
∴AO是PA在底面ABCD的射影，
则∠PAO是直线PA与平面ABCD所成角，
∵PA与平面ABCD所成角，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PO=1，
∴PA=$\sqrt{P{O}^{2}+A{O}^{2}}=\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理以及线面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．