题目内容

4．关于x的不等式$\frac{2{x}^{2}-x+k}{{x}^{2}-x+3}$＞1对一切实数x恒成立，则k的取值范围是（3，+∞）．

分析 因为x2-x+3＞0恒成立，所以原不等式化为2x2-x+k＞x2-x+3，即k＞-x2+3，根据二次函数的性质即可求出答案．

解答 解：因为x2-x+3＞0恒成立，
所以原不等式化为2x2-x+k＞x2-x+3，即k＞-x2+3，当x=0时，-x2+3有最大值，即最大值为3，
所以k＞3，
故k的取值范围（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）

点评 本题考查了不等式恒成立的问题，分离参数，求出函数的最值是关键，属于基础题．

练习册系列答案
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（1）布林函数$f（x）=\sqrt{x}$的等域区间是：[0，1]
（2）若函数$f（x）=k+\sqrt{x+2}$是布林函数，则实数k的取值范围是：$（{-\frac{9}{4}，-2}）$．

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