Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S_△ADC=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
（Ⅰ）求DC的长；
（Ⅱ）求∠BCA的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的面积公式求出sin∠1的值，再利用同角的三角函数关系求出cos∠1，用余弦定理即可求出DC的长；
（Ⅱ）根据∠1=∠2求出∠2的正弦、余弦值，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换即可求出sin∠BCA的值．

解答 解：（Ⅰ）△ADC中，AC=7，AD=6，S_△ADC=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
即S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AC•AD•sin∠1=$\frac{1}{2}$×7×6×sin∠1=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠1=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cos∠1=$\sqrt{1{-（\frac{5\sqrt{3}}{14}）}^{2}}$=$\frac{11}{14}$
∴DC²=AC²+AD²-2•AC•AD•cos∠1
=7²+6²-2×7×6×$\frac{11}{14}$
=19，
∴DC=$\sqrt{19}$；
（Ⅱ）∵∠1=∠2，
∴sin∠2=sin∠1=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cos∠2=cos∠1=$\frac{11}{14}$；
又∠ABC=60°，
∴sin∠BCA=sin（120°-∠2）
=sin120°cos∠2-cos120°sin∠1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{11}{14}$-（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角形的内角和定理，以及两角差的正弦公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键，属于中档题．