Question

14．已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一个交点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为1，2，B是直线l₂上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l₁交于点C，则△ABC的面积最小值为2．

Answer 1

分析 过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC、AB、从而得到△ABC面积、利用正弦函数的有界性，可得△ABC面积有最小值．

解答 解：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F，
则AF=1，AE=2，
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=$\frac{1}{cosθ}$，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=$\frac{2}{sinθ}$，
∴△ABC面积为S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{2}{sin2θ}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴当且仅当θ=$\frac{π}{4}$时，sin2θ=1达到最大值1，
此时△ABC面积有最小值2
故答案为：2．

点评 此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．