Question

9．将圆x²+y²=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）求曲线C上的点P（x，y），使得$z=x-2\sqrt{3}y$取得最小值．

Answer 1

分析 （1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；
（2）由（1），可得z=2cost-2$\sqrt{3}$sint=4cos（t+60°），即可得出结论．

解答 解：（1）设点（x₁，y₁）为圆上的任意一点，在已知变换下变为C上点（x，y），
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{2}}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，
根据x₁²+y₁²=1，得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
所以，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）由（1），可得z=2cost-2$\sqrt{3}$sint=4cos（t+60°），
∴cos（t+60°）=-1，t=120°，P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），使得$z=x-2\sqrt{3}y$取得最小值．

点评 本题重点考查了直线的参数方程，考查了直线参数方程的运用，属于中档题．