Question

13．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD=2，AB=3．
（1）求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：AB⊥SD．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得∠SAD是SA与BC所成角，由此利用余弦定理能求出SA与BC所成角的余弦值．
（2）取AD中点O，连结SO，推导出SO⊥AD，从而SO⊥平面ABCD，进而AB⊥SO，由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD，由此能证明AB⊥SD．

解答 解：（1）∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠SAD是SA与BC所成角，
∵SA=SD=2，AB=3，∴AD=3，
∴cos∠SAD=$\frac{S{A}^{2}+A{D}^{2}-S{D}^{2}}{2SA•AD}$=$\frac{4+9-4}{2×2×3}$=$\frac{3}{4}$．
∴SA与BC所成角的余弦值为$\frac{3}{4}$．
证明：（2）取AD中点O，连结SO，
∵SA=SD=2，∴SO⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，∴SO⊥平面ABCD，
∴AB⊥SO，∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，
∵AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，
∵SD?平面SAD，∴AB⊥SD．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．