Question

7．已知F是抛物线C：x²=4y的焦点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为抛物线C上不同的两点，l₁，l₂分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x₀，y₀）是l₁，l₂的交点．
（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；
（2）若|PF|=2，求|AF|•|BF|的值．

Answer 1

分析 （1）当直线AB经过焦点F时，求出切线PA，PB的方程，可得P的坐标，即可证明：点P在定直线上；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入C：x²=4y得x²-4kx-4m=0，求出P的坐标，利用韦达定理，即可求|AF|•|BF|的值．

解答 （1）证明：抛物线$C：y=\frac{x^2}{4}$，则$y'=\frac{x}{2}$，
∴切线PA的方程为$y-{y_1}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}$，
同理切线PB的方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$，
联立得点P$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}}）$，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0．所以x₁x₂=-4
所以点P在直线y=-1上；
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，
代入C：x²=4y得x²-4kx-4m=0．x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，所以P（2k，-m），$|{PF}|=\sqrt{4{k^2}+{{（{m+1}）}^2}}=2⇒{（{m+1}）^2}=4-4{k^2}$，$|{AF}|•|{BF}|=（{y_1}+1）（{y_2}+1）=（{k{x_1}+m+1}）（{k{x_2}+m+1}）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{m+1}）（{{x_1}+{x_2}}）+{（{m+1}）^2}$
=-4mk²+4k²（m+1）+4-4k²=4．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．