Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列．若 $\frac{sinA}{sinC}$-1=$\frac{a-b}{a+c}$，判断△ABC的形状（说明理由）

Answer 1

分析 使用正弦定理将角化边，根据ac=b²，利用余弦定理计算A，分情况讨论公比q与1的大小关系，得出结论．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{sinA}{sinC}$-1=$\frac{a-b}{a+c}$，∴$\frac{a}{c}$=1+$\frac{a-b}{a+c}$=$\frac{2a+c-b}{a+c}$，
∴a²+ac=2ac+c²-bc，即ac+c²-a²=bc．
∵a，b，c成等比数列，∴ac=b²，
∴b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
设a，b，c组成的等比数列的公比为q，
（1）若q＞1，则a＜b＜c，∴$\frac{π}{3}＜B＜C$，
∴A+B+C＞π，矛盾．
（2）若q＜1，则a＞b＞c，∴$\frac{π}{3}＞B＞C$，
∴A+B+C＜π，矛盾．
（3）若q=1，则a=b=c，∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，符合题意．
∴三角形为等边三角形，
综上，△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，等比中项的性质，属于中档题．