Question

4．若函数f（x）=$\frac{1}{1-x}$，则f[$\frac{1}{f（x）}$]=$\frac{1}{x}$；若x∈[2，4]，则f[$\frac{1}{f（x）}$]的值域为$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式求出$\frac{1}{f（x）}$，代入化简f[$\frac{1}{f（x）}$]求出f[$\frac{1}{f（x）}$]，由x∈[2，4]和反比例函数的单调性求出f[$\frac{1}{f（x）}$]的值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1-x}$，∴$\frac{1}{f（x）}$=1-x，则f[$\frac{1}{f（x）}$]=f（1-x）=$\frac{1}{1-（1-x）}$=$\frac{1}{x}$；
∵x∈[2，4]，∴$\frac{1}{x}$∈$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$，∴f[$\frac{1}{f（x）}$]的值域为$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$，
故答案为：$\frac{1}{x}$；$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查函数的解析式和值域，以及反比例函数的单调性，属于基础题．