Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，Q是PC中点，AC，BD交于O点，求二面角Q-BD-C的大小．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-BD-C的大小．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，
则由题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），Q（1，1，1），D（0，2，0），
$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
设平面BDQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{n}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角Q-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|0|}{\sqrt{2}}$=0，
∴二面角Q-BD-C的大小为90°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．