题目内容
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击； 若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击； 若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击； 若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100米处击中目标的概率为
，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．（Ⅰ）求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
【答案】分析：（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D，设在x米处击中目标的概率为P（x），则
，根据射手甲在100米处击中目标的概率为
求出k的值，从而求出P（B）、P（C），由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为
，可求出所求；
（Ⅱ）设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．
依题意
．
设在x米处击中目标的概率为P（x），则
，
由x=100m时
，所以
，k=5000，
，…（2分）
∴
，
，…5 分
由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为
，
即
=
． …（8分）
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3则
，
，
，
所以ξ的分布列为
所以
．…（12分）
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
，根据射手甲在100米处击中目标的概率为求出k的值，从而求出P（B）、P（C），由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为，可求出所求；（Ⅱ）设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．
依题意
．设在x米处击中目标的概率为P（x），则
，由x=100m时
，所以，k=5000，，…（2分）∴
，，…5 分由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为
，即
=
． …（8分）（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3则
，，，所以ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | |
| P |  |  |  |  |
．…（12分）点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
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