Question

已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）极大值；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证.

试题解析：（1）当时，，

，

由解得，由解得，

故当时，的单调递增；当时，单调递减，

∴当时，函数取得极大值.

（2），∵函数在区间上单调递减，

∴在区间上恒成立，即在上恒成立，

只需2a不大于在上的最小值即可． 6分

而，则当时，，

∴，即，故实数a的取值范围是． 8分

（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．

由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．

（ⅱ）当时，由，令，得或，

①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.