Question

已知函数，a为正常数．
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；
（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．
解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，
得，故函数f（x）的单调减区间为．                 …（5分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴，
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，
，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立
设，则，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．
当0＜x＜1时，，，
令h'（x）≤0，得：，
设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．                 …（16分）
点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．