Question

1．已知函数f（x）=ae^x-be^-x-cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为2-c
（1）确定a，b的值
（2）当c=1时，判断f（x）的单调性
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导函数f′（x）为偶函数以及到是的几何意义，建立方程关系即可确定a，b的值
（2）当c=1时，求函数的导数，得到f′（x）＞0，即可判断f（x）的单调性
（3）若f（x）有极值，求函数的导数，讨论c的取值范围即可，求c的取值范围．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=ae^x+be^-x-c，
∵f′（x）为偶函数，∴f′（-x）=f′（x），
即ae^-x+be^x-c=ae^x+be^-x-c，
即（a-b）（e^x-be^-x）=0恒成立，则a-b=0，即a=b．
∵y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为2-c
∴f′（0）=a+b-c=2a-c=2-c，
∴2a=2，a=1，
则a=1，b=1．
（2）当c=1时，f（x）=e^x-e^-x-x，
f′（x）=e^x+e^-x-1≥2$\sqrt{{e}^{x}{e}^{-x}}$-1=2-1=1＞0，
∴f（x）在R上单调递增．
（3）f′（x）=e^x+e^-x-c，
而e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}{e}^{-x}}$=2，当x=0时取等号，
下面分三种情况讨论，
①当c＜2时，f′（x）=e^x+e^-x-c≥2-c＞0恒成立，此时函数单调递增，无极值，不满足条件．
②当c=2时，对任意的x≠0时，f′（x）=e^x+e^-x-c≥2-c＞0恒成立，此时函数单调递增，无极值，不满足条件．
③当c＞2时，令t=e^x，则由f′（x）=e^x+e^-x-c=t+$\frac{1}{t}$-c=0，即t²-ct+1=0有两个根，
t₁=$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-4}}{2}$＜t₂=$\frac{c+\sqrt{{c}^{2}-4}}{2}$，
∴f′（x）=0有两个根x₁=lnt₁，x₂=lnt₂，
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，
当x＞x₂时，f′（x）＞0，从而f（x）在x=x₂取得极小值，
综上若f（x）有极值，则c的取值范围（2，+∞）．

点评 本题主要考查导数和函数的综合应用，涉及导数的计算，导数的几何意义，函数单调性和导数之间的关系以及函数极值和导数的关系，利用分类讨论以及基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．