Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{4+{x^2}}$，则?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|{x_1}-{x_2}|}}$的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [0，1]
• C． （0，1）
• D． [0，1）

Answer 1

分析 将函数两边平方，可得焦点在y轴上的双曲线的上支，由于双曲线的渐近线为y=±x，可得函数f（x）的图象上不同的两点连线的斜率范围为（-1，1），可得所求取值范围．

解答 解：∵$y=\sqrt{4+{x^2}}$，
∴两边平方可得，y²-x²=4（y＞0），
∴函数$f（x）=\sqrt{4+{x^2}}$的图象表示焦点在y轴上的双曲线的上支，
由于双曲线的渐近线为y=±x，
所以函数f（x）的图象上不同的两点连线的斜率范围为（-1，1），
故$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|{x_1}-{x_2}|}}∈[0，\;\;1）$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的图象和性质，注意运用渐近线与双曲线的关系，以及双曲线上两点的斜率和渐近线斜率的关系，属于中档题．