Question

14．函数y=sinx-cos2x的值域为[-$\frac{9}{8}$，2]．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简函数y为sinx的二次函数，根据正弦sinx的有界性，即可求出函数y的值域．

解答 解：函数y=sinx-cos2x
=sinx-（1-2sin²x）
=2sin²x+sinx-1
=2（sin²x+$\frac{1}{2}$sinx）-1
=2${（sinx+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$，
且-1≤sinx≤1，
所以0≤${（sinx+\frac{1}{4}）}^{2}$≤$\frac{25}{16}$
所以sinx=-$\frac{1}{4}$时，y有最小值-$\frac{9}{8}$；
当sinx=1时，y有最大值2；
即函数y=sinx-cos2x的值域是[-$\frac{9}{8}$，2]．
故答案为：[-$\frac{9}{8}$，2]．

点评 本题考查了二倍角公式与正弦函数的有界性问题，是基础题目．