Question

14．已知集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|kx²+2x+6k＞0}．
（Ⅰ）  若A=B，求实数k的值；
（Ⅱ）  若B∩R=R，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据集合相等的定义列出关于k的不等式组，通过解不等式组来求k的值；
（2）问题转化为y=|kx²+2x+6k＞0在R恒成立，通过讨论k的范围结合二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵B=A={x|2＜x＜3}，
∴kx²+2x+6k=0有两个实数根2，3，且k＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{2+3=-\frac{2}{k}}\\{2×3=\frac{6k}{6}}\end{array}\right.$，
∴k=-$\frac{2}{5}$．
（2）∵B∩R=R，∴B=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=4-24{k}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得k＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴k的取值范围是{k|k＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$}．

点评 本题考查了集合的相等、交集及其运算以及求函数的问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．