Question

5．设直线x=t与两数f（x）=x²+1，g（x）=x+lnx的图象分别交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为1．

Answer 1

分析 将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值即可得到|PQ|最小值．

解答 解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-x-lnx+1，函数的定义域（0，+∞），
求导数得y′=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
当0＜x＜1时，y′＜0，函数在（0，1）上为单调减函数，
当x＞1时，y′＞0，函数在（1，+∞）上为单调增函数，
所以当x=1时，所设函数的最小值为1，
所以|PQ|最小值为1，
故答案为：1

点评 本题主要考查函数最值的求法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．