Question

16．定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f′（a）＞0，f′（b）＜0．现给出如下结论：
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0；
②?x₀∈[a，b]，f（x₀）＞f（b）；
③?x₀∈[a，b]，f（x₀）≥f（a）；
④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）=f'（x₀）（a-b）．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 定义在R上的函数f（x）导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b （a＜b）有f′（a）＞0，f′（b）＜0，可知：存在c，满足：a＜c＜b，f′（c）=0；函数f（x）在区间（a，c）上单调递增，在区间（c，b）上单调递减．进而即可判断出．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，
且对于实数a，b （a＜b）有f′（a）＞0，f′（b）＜0，∴存在c，满足：a＜c＜b，f′（c）=0．
∴函数f（x）在区间（a，c）上单调递增，在区间（c，b）上单调递减．
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0不一定正确；
②?x₀∈[a，b]，可知x₀∈（c，b），且f（x₀）＞f（b），正确；
③?x₀∈[a，b]，若x₀∈（c，b]，则可能f（x₀）＜f（a），不一定正确；
④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f′（x₀）（a-b）正确，
若 $\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，而x₀∈（c，b]，f′（x₀）＜0．因此正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点、割线的斜率，考查了数形结合思想方法，属于难题．