Question

19．2015年5月1日世界博览会在意大利的米兰开幕，中国馆为了做好世界博览会期间的接待服务工作，从5名男大学生和3名女大学生中选出3人，参加博览会的志愿者服务活动．
（Ⅰ）求选出的3人中至少1名女生的概率；
（Ⅱ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对立事件的概率求出选出的3人中至少1名女生的概率；
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设选出的3人中至少1名女生为事件A，则P（A）=$1-\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{23}{28}$；
（Ⅱ）ξ=0、1、2、3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$．
分布列为：

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

期望Eξ=$0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{63}{56}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查了随机事件、对立事件的概率的求法，是中档题．