Question

7．设函数f（x）=lnx-x+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上的极值及最值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，
（2）分别求出端点值和极大值，即可求出最值

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-x+1，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞1，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
（2）由（1）可知，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，
当x=1时，函数有极大值，极大值为f（1）=0，极大值即为最大值，即最大值为0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-ln2，f（2）=ln2-1，
由于$\frac{1}{2}$-ln2-ln2+1=$\frac{3}{2}$-2ln2＞0，
∴f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
∴f（x）_min=ln2-1．

点评 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，掌握求最值的步骤是关键，属于中档题．