Question

9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是棱CD上的动点，G为C₁D₁的中点，H为A₁G的中点．
（ I）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；
（ II）设二面角C₁-EF-C的大小为θ，试确定点F的位置，使得sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （I）以点A为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，设F（x，1，0）（0≤x≤1），当点F与点D重合时，易知F（0，1，0），只要证明$\overrightarrow{AH}$$•\overrightarrow{EF}$=0，即可得出EF⊥AH．
（ II）sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，θ为锐角，可得cosθ=$\frac{1}{3}$．设$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，可得平面C₁EF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$（\frac{1}{x-1}，-2，1）$．又$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1）是平面EFC的一个法向量，利用cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$，解出即可得出．

解答 （I）证明：以点A为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，
则A₁（0，0，1），C₁（1，1，1），D（0，1，0），E$（1，\frac{1}{2}，0）$，
G$（\frac{1}{2}，1，1）$，H$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$，
设F（x，1，0）（0≤x≤1），当点F与点D重合时，易知F（0，1，0），
$\overrightarrow{AH}$=$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{EF}$=$（-1，\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{AH}$$•\overrightarrow{EF}$=0，∴EF⊥AH．
（ II）解：易知$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$（0，-\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{EF}$=$（x-1，\frac{1}{2}，0）$，且x≠1．
设$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}b-c=0}\\{（x-1）a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，
令c=1，则平面C₁EF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$（\frac{1}{x-1}，-2，1）$．
又$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1）是平面EFC的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{1}{x-1}）^{2}+5}}$，
∵sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，θ为锐角，∴cosθ=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{（\frac{1}{x-1}）^{2}+5}}$=$\frac{1}{3}$，解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故当F是CD的中点时，sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、正方体的性质、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．