Question

7．关于x的不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x+y≥0}\\{kx-y+1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 讨论直线斜率，作出对应的区域，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：当k=0时，对应的三角形为△OAB，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，此时OB=1，则对应的面积S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，

若k≠0，直线kx-y+1=0与x+y=0垂直，则k=1，
此时对应的三角形为△OAB，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，

综上该三角形的面积为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域讨论直线斜率k的取值范围是解决本题的关键．