Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+1成立．
（1）函数f（x）=x²是否属于集合M？说明理由；
（2）函数f（x）=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（3）若对于任意实数a，函数f(x)=

b

x+a

均属于集合M，试求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若f（x）=x²属于集合M，则方程（x+1）²=x²+1有根，解二次方程如果该方程有根，则数f（x）=x²属于集合M．
（2）若f（x）=

1

x

属于集合M，则方程

1

x+1

=

1

x

+1有根，解二次方程如果该方程有非零根，则数f（x）=

1

x

属于集合M．
（3）若b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．若当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），由对于任意实数a，函数f(x)=

b

x+a

均属于集合M，故

b

x0+a+1

=

b

x 0+a

+1一定有解，根据△≥0，我们构造出一个关于b的不等式，解不等式即可得到实数b的取值范围．

解答：解：（1）D=R，若f（x）=x²属于集合M，
则存在实数x₀，使得（x₀+1）²=x₀²+1，解得x₀=0，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=x²属于集合M．（5分）
（2）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=

1

x

∉M．（5分）
（3）当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），
由f(x)=

b

x+a

，存在实数x₀，使得

b

x0+a+1

=

b

x 0+a

+1，
即x₀²+（2a+1）x₀+a²+a+b=0（x₀≠-a，-a-1）对于任意实数a均有解，
所以△≥0恒成立，解得b≤

1

4

，有b∈(-∞，0)∪(0，

1

4

]，（15分）
当b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．
所以，实数b的取值范围是(-∞，0)∪(0，

1

4

]．（18分）

点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系的判断，要想判断一个元素x是否属于集合M，仅需要判断x是否满足M的性质即可．