Question

13．已知实数x，y满足x²+（y-2）²=1，则$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2]
• B． [1，2]
• C． （0，2]
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

Answer 1

分析 构造直线x+$\sqrt{3}$y=0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=2sin∠POM，求出∠POM的范围即可得出答案．

解答 解：设P（x，y）为圆x²+（y-2）²=1上的任意一点，
则P到直线x+$\sqrt{3}$y=0的距离PM=$\frac{x+\sqrt{3}y}{2}$，P到原点的距离OP=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{2PM}{OP}$=2sin∠POM．
设圆x²+（y-2）²=1与直线y=kx相切，则$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴∠POM的最小值为30°，最大值为90°，
∴$\frac{1}{2}$≤sin∠POM≤1，
∴1≤2sin∠POM≤2．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．