Question

已知四棱锥中，，，且底面是边长为1的正方形，是侧棱上的一点(如图所示).

（1）如果点在线段上，，且，求的值；

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

解：(1)连接CF并延长交AB于K，连接PK，

因为：EF//平面PAB ,EFÌ 平面PCK，平面PCKÇ平面PAB = PK，

\ EF// PK，因为DF=3FB，AB//CD ，\ CF=3KF，

又因为：EF// PK，\ CE= 3PE, \ = -----4分

(2) 以C 为原点，CD，CB，CP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系

（如图所示）则有：

C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)

B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, ),F(,,0)

故= (,,- ),= (,- ,0)

= (,,0)-----------6分

设= (x₁ ,y₁ ,z₁)是平面BEF的一个法向量

则有：,取x=1得：= (1，1，)

----------------------------------8分

同理：平面CEF的一个法向量为：= (3,-1,0) -----------------10分

cos<,> = =

所以：二面角B—EF—C的余弦值为：- .-----------12分