Question

18．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x的值．

解答 解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，
∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，
∴圆锥的高是x，则半径为$\frac{x}{tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，母线长是$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{3}$，
则圆柱的底面半径是$\frac{x}{\sqrt{3}}$，高是1，
∵该几何体的表面积为16π，
∴$π×（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+2π×\frac{x}{\sqrt{3}}×1+π×\frac{x}{\sqrt{3}}×$ $\frac{2\sqrt{3}x}{3}$=16π，
化简得，$\sqrt{3}{x}^{2}+2x-16\sqrt{3}=0$，
解得x=$2\sqrt{3}$或x=$-\frac{4}{\sqrt{3}}$（舍去），
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．