Question

8．已知f（x）=|x|．
（I）解关于x的不等式f（x）+f（x-2）≥3；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+$\frac{1}{x}$）+f（x-$\frac{1}{x}$），证明：g（x）≥2．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值的几何意义，去掉绝对值，即可解关于x的不等式f（x）+f（x-2）≥3；
（Ⅱ）求出g（x），分类讨论，证明不等式．

解答 （I）解：不等式化为|x|+|x-2|≥3，则有
x≥2时，2x-2≥3，∴x≥2.5；
0＜x＜2时，2≥3不成立；
x≤0时，2-2x≥3，∴x≤-0.5．
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-0.5或x≥2.5}；
（Ⅱ）证明：g（x）=f（x+$\frac{1}{x}$）+f（x-$\frac{1}{x}$）=$\left\{\begin{array}{l}{2|x|，|x|≥1}\\{\frac{2}{|x|}，0＜|x|＜1}\end{array}\right.$，
|x|≥1时，g（x）=2|x|≥2，当且仅当|x|=1时等号成立；
0＜|x|＜1时，g（x）=$\frac{2}{|x|}$＞2，
综上所述，g（x）≥2．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．