Question

9．关于函数f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），有下列命题
①若f（x₁）=f（x₂）=0，则|x₁-x₂|必是π的整数倍；
②函数y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]单调递增；
③函数y=f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称
④函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称．
所有正确命题的序号是②④．

Answer 1

分析 根据正弦型函数的图象和性质，逐一分析四个命题的真假，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），
∴①若f（x₁）=f（x₂）=0，则|x₁-x₂|必是$\frac{π}{2}$的整数倍，故错误；
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
故②函数y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]单调递增；故正确；
当x=-$\frac{π}{6}$时，2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1≠0，
③函数y=f（x）的图象不关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，而关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，故错误；
当x=$\frac{π}{3}$时，2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，
④函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称．故正确；
故答案为：②④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，三角函数的图象和性质，难度中档．