Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为偶函数，且在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数，则φ的一个可能值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{5π}{3}$

Answer 1

分析 先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐一验证即可得到答案．

解答 解：根据题意，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）]
=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$），
若f（x）为偶函数，则有φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{3}$，
分析选项，可以排除B、D，
对于A、当φ=$\frac{π}{3}$时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，不符合题意，
对于C、当φ=$\frac{4π}{3}$时，f（x）=2sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-2cos2x，在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数，符合题意，
故选：C．

点评 本题考查三角函数的单调性和奇偶性．一般都要先将函数解析式化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据题中条件解题．