Question

13．从椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，点A、B是椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点，且AB∥OM，|F₁A|=$\sqrt{2}+1$．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若P是该椭圆上的动点，右焦点为F₂，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围．
（3）若直线y=kx+m与椭圆E有两个交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先计算PF₁的长，再利用两直线平行得tan∠MOF₁，最后在直角三角形MOF₁中，找到a、b、c间的等式，从而求出离心率；
（2）由|F₁A|=$\sqrt{2}+1$，可得a+c=$\sqrt{2}+1$，再由a=$\sqrt{2}$c，解得a，c，再求b，进而得到椭圆方程，设出P的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，即可得到所求的最值，进而得到所求范围；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则将直线与椭圆的方程联立，消去y，利用判别式以及韦达定理，通过数量积小于0，求出m、k的关系式，进一步求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），
将x=-c代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|MF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|OF₁|=c，
∵AB∥OM，∴tan∠MOF₁=tan∠BAO=$\frac{b}{a}$，
∴在直角三角形MOF₁中，tan∠MOF₁=$\frac{|M{F}_{1}|}{|O{F}_{1}|}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}=\frac{b}{a}$，
∴b=c，则a=$\sqrt{2}$c，
∵|F₁A|=$\sqrt{2}+1$=a+c=$（\sqrt{2}+1）c$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，则e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由|F₁A|=$\sqrt{2}+1$，
可得a+c=$\sqrt{2}+1$，
又a=$\sqrt{2}$c，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
设P（m，n），可得m²+2n²=2，
又F₁（-1，0），F₂（1，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-1-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-m，-n），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-m）（1-m）+n²
=m²+n²-1=1-n²，
由-1≤n≤1，
可得n=0，取得最大值1，n=±1时，取得最小值0．
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$ 的取值范围是[0，1]；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则将直线与椭圆的方程联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，m²＜2k²+1…①
 x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∵O在以PQ为直径的圆的内部，故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$＜0，
得：m²＜$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$，∴m²＜$\frac{2}{3}$，满足①，
故m的取值范围是（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，注意运用两直线平行的条件，考查平面向量的数量积的范围，注意运用坐标表示，结合椭圆的范围，属于中档题