Question

5．代数式2$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 设代数式等于y，两边平方后整理成关于x的一元二次方程，由△≥0，可求得y的范围，然后确定最小值．

解答 解：令y=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x，并且y＞0，则y²+2xy=3x²+4，
变形为3x²-2yx+4-y²=0，把它看作是关于x的一元二次方程，并且x有值；
故△=（2y）²-4×3（4-y²）=4y²-12≥0．
所以，y≥$\sqrt{3}$．
当且仅当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，y取最小值$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了建立方程的思想和一元二次方程根的判别式．当一元二次方程有解时，△≥0．同时考查了不等式的解法．