Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，

2

2

)，
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）假设幂函数y=f（x）=x^α，根据幂函数y=f（x）的图象过点(2，

2

2

)，可建立方程，从而可求f（x）的解析式；
（2）确定函数的定义域，可知函数的奇偶性，再利用单调性的定义证明函数的单调性．

解答：解：（1）设幂函数y=f（x）=x^α，则依据题意
∵幂函数y=f（x）的图象过点(2，

2

2

)，
∴2α=

2

2

，
∴α=-

1

2

，
∴f(x)=x-

1

2

=

1

x

（2）由（1）知函数的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，
故函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
在定义域（0，+∞）上任意选取两个实数x₁，x₂，使x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

x1

-

1

x2

=

x2 - x1

x1 x2

=

( x2 - x1 )( x2 + x1 )

x1 x2 ( x2 + x1 )

=

x2-x1

x1 x2 ( x2 + x1 )

又∵0＜x₁＜x₂，
∴x1x2＞0，x2-x1＞0，

x1

+

x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在定义域上是单调递减函数．

点评：本题以幂函数为载体，考查幂函数的解析式的求解，考查幂函数的奇偶性、单调性，解题的关键是确定幂函数的解析式．