题目内容
10．已知圆M：（x-m）2+y2=1的切线l，当l的方程为y=1时，直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．（1）求椭圆的标准方程；
（2）当m＜0时，设S表示三角形的面积，若M的切线l：y=kx+$\sqrt{2}$与椭圆C交于不同的两点P，Q，当tan∠POQ=3S△POQ时，点A在抛物线y2=2$\sqrt{2}$x上，点B在圆M上，求|AB|的最小值．
分析 （1）当l的方程为y=1时，直线l与椭圆相切，得到b=1，再由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由直线l与椭圆相切，得（km+$\sqrt{2}$）2=1+k2，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4$\sqrt{2}kx+2=0$，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆弦长公式，结合已知条件能求出抛物线${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$与圆M上任意两点间最短距离．
解答 解：（1）∵圆M：（x-m）2+y2=1的切线l，当l的方程为y=1时，直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，
∴b=1，
∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{2}$+y2=1．
（2）由直线l与椭圆相切，得$\frac{|km+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴（km+$\sqrt{2}$）2=1+k2，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4$\sqrt{2}kx+2=0$，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则$△=（4\sqrt{2}k）^{2}-8（1+2{k}^{2}）＞0$，解得${k}^{2}＞\frac{1}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{2}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵tan∠POQ=3S△POQ，∴tan$∠POQ=3×\frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|$sin∠POQ，
∴$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|$cos∠POQ=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴${k}^{2}=1＞\frac{1}{2}$，
∴（km+$\sqrt{2}$）2=2，∴m=0（舍），或m=2$\sqrt{2}$（舍）或m=-2$\sqrt{2}$，
∴圆M：（x+2$\sqrt{2}$）2+y2=1．
设抛物线${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$上一点P（x，y），
则|PM|=$\sqrt{（x+2\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+2\sqrt{2}）^{2}-2\sqrt{2}x}$=$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+6}$，
当x=-$\sqrt{2}$时，|PM|有最小值$\sqrt{6}$》1，
∴抛物线y2=2$\sqrt{2}x$，|PM|有最小值$\sqrt{6}＞1$，
∴抛物线${y}^{2}=-2\sqrt{2}x$与圆M上任意两点间最短距离即|AB|的最小值为$\sqrt{6}-1$．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆弦长公式、椭圆、圆、抛物线等知识点的合理运用．
阳光课堂同步练习系列答案
如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$（结果用反三角函数值表示）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点
如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上顶点为A（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
如图，在△ABC中，已知$∠BAC=\frac{π}{3}$，AB=2，AC=4，点D为边BC上一点，满足$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$，点E是AD上一点，满足$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{ED}$，则BE=$\frac{2\sqrt{21}}{9}$．
| A． | 15 | B． | 21 | C． | 24 | D． | 35 |