Question

（本小题满分14分）已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）若函数与有相同极值点，

（ⅰ）求实数的值；

（ⅱ）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）的最大值为；（2）（i）；（ii）．

【解析】

试题分析：（1）考虑通过求导判断函数的单调性来求其最大值：，从而可知在上为增函数，在上为减函数，因此的最大值为；（2）（i）根据条件函数与有相同极值点，即与有相同的零点，从而由（1），即有；（ii）首先根据前述问题可知，，，，而要使不等式恒成立，故需对的取值进行分类讨论，从而可得①当，即时，对于，不等式恒成立

，∵，

∴，又∵，∴，

②当，即时，对于，不等式，

，

∵，∴，又∵，∴，

即实数的取值范围为．

试题解析：（1）， 1分 由得，

由得，∴在上为增函数，在上为减函数， 3分

∴函数的最大值为； 4分（2）∵，∴，

（i）由（1）知，是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，

∴ 是函数的极值点，∴，解得， 7分

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意； 8分

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，

∴，， 9分

由（ⅰ）知，∴，当时，，当时，，

故在为减函数，在上为增函数，∵，

而，∴，∴，， 10分

①当，即时，对于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴， 12分

②当，即时，对于，不等式，

，

∵，

∴，又∵，∴，

综上，所求的实数的取值范围为． 14分

考点：1．导数的运用；2．恒成立问题．