Question

11．点P是直线l：x-y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x-1）²+（y-1）²=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．

Answer 1

分析 利用切线与圆心的连线垂直，可得S_PACB=2S_ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．

解答 解：根据题意：圆C：（x-1）²+（y-1）²=4，圆心为（1，1），半径r=2，

∵点P在直线x-y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，
直线上的动点到圆心的距离d²=（t-1）²+（t+4-1）²，
化简：d²=2（t²+2t+5）
=2（t+1）²+8，
∴${d}_{min}=2\sqrt{2}$，
那么：$PA=\sqrt{{d}^{2}{-r}^{2}}$，
则|PA|_min=2，
三角形PAC的最小面积为：${S}_{PAC}=\frac{1}{2}PA•r$=2，
可得：S_PACB=2S_ACP=4，
所以：四边形PACB的最小面积S_PABC=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了圆的切线问题，切线与圆心的连线垂直，能构造直角三角形，把四边形PACB的最小面积，直线上的动点到圆心的距离最短是解题的关键．属于中档题．