Question

8．某闯关游戏有这样一个环节：该关卡有一道上了锁的门，要想通过该关卡，要拿到门前密码箱里的钥匙，才能开门过关．但是密码箱需要一个密码才能打开，并且3次密码尝试错误，该密码箱被锁定，从而闯关失败．某人到达该关卡时，已经找到了可能打开密码箱的6个密码（其中只有一个能打开密码箱），他决定从中随机地选择1个密码进行尝试．若密码正确，则通关成功；否则继续尝试，直至密码箱被锁定．
（1）求这个人闯关失败的概率；
（2）设该人尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“密码箱被锁定”的事件为A，利用等可能事件概率计算公式能求出这个人闯关失败的概率．
（2）依题意，X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“密码箱被锁定”的事件为A
则$P（A）=\frac{5×4×3}{6×5×4}=\frac{1}{2}$．（5分）
（2）依题意，X的可能取值为1，2，3，
则$P（X=1）=\frac{1}{6}$，
$P（X=2）=\frac{5×1}{6×5}=\frac{1}{6}$，
 $P（X=3）=\frac{5×4}{6×5}×1=\frac{2}{3}$，（8分）
所以分布列为：

X	1	2	3
p	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$

所以：$E（X）=1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{2}{3}=\frac{5}{2}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都必考题型之一．