Question

5．（1）求证：已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²
（2）求证：已知x，y，z都是正数，求证：$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$•．

Answer 1

分析 （1）利用作差法通过（x³+y³）-（x²y+xy²）=（x-y）²（x+y）讨论表达式的符号，推出结果即可．
法二：综合法x²+y²≥2xy，推出（x²+y²）（x+y）≥2xy（x+y），展开化简求解即可．
（2）通过x，y，z均为正数，利用$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}=\frac{1}{z}（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）≥\frac{2}{z}$，$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{2}{x}，\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}≥\frac{2}{y}$，收购式子相交化简求解即可．

解答 （1）证明：∵（x³+y³）-（x²y+xy²）=x²（x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）
又∵x，y∈R⁺，∴（x-y）²≥0，x+y＞0，∴（x-y）²（x+y）≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²…（5分）
法二：∵x²+y²≥2xy，又∵x，y∈R⁺，∴x+y＞0，
∴（x²+y²）（x+y）≥2xy（x+y），展开得x³+y³+x²y+xy²≥2x²y+2xy²
移项，整理得x³+y³≥x²y+xy²…（5分）
（2）证明：因为x，y，z均为正数，
所以$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}=\frac{1}{z}（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）≥\frac{2}{z}$
同理可得$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{2}{x}，\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}≥\frac{2}{y}$，
当且仅当x=y=2时，以上三式等号都成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{2}{xy}≥\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，作差法以及综合法的应用，考查转化思想以及计算能力．