Question

11．设{a_n}为等差数列，a₁=2，a₂+a₄=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质求出数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），分组求和法求解数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由题意，{a_n}为等差数列，a₁=2，a₂+a₄=8．即2+d+2+3d=8，
可得等差d=1．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n+1．
（2）由（1）b_n=2（a_n+$\frac{1}{{2}^{{a}_{n}}}$），
∴b_n=2n+2+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}看成是等差数列{2n+2}+等比数列{$\frac{1}{{2}^{n}}$}得到的．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=S_等差+S_等比=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故得数列{b_n}的前n项和S_n=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．