Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球心为O半径为1的球面上，且满足PA、PB、PC两两垂直，当PC•AB的最大值时，三棱锥O-PAB的高为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：设PA=a，PB=b，PC=c，由题设可知，三棱锥就是内接球的长方体的一部分，其体对角线就是球的直径2．
所以a²+b²+c²=4，利用基本不等式得到PC•AB=c

a2+b2

≤2．而三棱锥O-PAB的高为

1

2

c．

解答：解：设PA=a，PB=b，PC=c，由题设可知，三棱锥就是内接球的长方体的一部分，其体对角线就是球的直径2．
∴a²+b²+c²=4．
∴4≥2c

a2+b2

∴c

a2+b2

≤2，当且仅当a²+b²=c²=2，即c=

2

，
∴PC•AB=c

a2+b2

取到最大值2，
当PC•AB的最大值时，三棱锥O-PAB的高为

c

2

=

2

2

；
故选B．

点评：本题考查了三条棱两两垂直的三棱锥与长方体的关系以及与外接球的关系，考查了学生的空间想象能力，属于难题．