Question

20．一个四面体，其中一个顶点A的三个角分别为60°，θ，90°，其中tanθ=2，则θ角与60°角所在面的二面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

Answer 1

分析 设四面体为A-BCD，过B作BE⊥AD于E，过E作EF⊥AD，交AC于F，连接BF，则∠BEF是θ角与60°角所在面的二面角的平面角，根据三角形的边角公式以及余弦定理进行求解即可．

解答 解：设∠BAC=90°，∠BAD=60°，∠DAC=θ，
过B作BE⊥AD于E，过E作EF⊥AD，交AC于F，连接BF，
则∠BEF是θ角与60°角所在面的二面角的平面角，
设AE=1，则AB=2，BE=$\sqrt{3}$，
∵tanθ=2=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{EF}{1}$，
∴EF=2，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
在直角三角形BAF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+5}=\sqrt{9}$=3，
由余弦定理得cos∠BEF=$\frac{E{F}^{2}+B{E}^{2}-B{F}^{2}}{2EF•BE}$=$\frac{4+3-9}{2×2×\sqrt{3}}=\frac{-2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{-1}{2\sqrt{3}}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
故答案为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系以及余弦定理是解决本题的关键．