Question

8．在△ABC中，A-C=$\frac{π}{2}$，a+c=$\sqrt{2}$b，则C等于（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{12}$
• C． $\frac{7π}{12}$
• D． π

Answer 1

分析 利用A-C=$\frac{π}{2}$，求得sinA=cosC，利用正弦定理和辅助角公式，求得B=C+$\frac{π}{4}$，三角形内角和公式求得C的值．

解答 解：A-C=$\frac{π}{2}$，得到A为钝角且sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC，
利用正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a+c=$\sqrt{2}$b可变为：sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$），
∴sinB=sin（C+$\frac{π}{4}$），
又A，B，C是△ABC的内角，
B=C+$\frac{π}{4}$或C+$\frac{π}{4}$+B=π（舍去），
∴A+B+C=（C+$\frac{π}{2}$）+C+$\frac{π}{4}$+C=π，
∴C=$\frac{π}{12}$．
故答案选：B．

点评 本题考查正弦定理及三角恒等变换，考查学生的观察和计算能力，属于中档题．