Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象（二次函数图象的一部分），如图所示，请根据图象：
（1）画出函数f（x）在y轴右边的图象并写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，（x∈[1，2]）（a∈R为常数），求函数g（x）的最小值及最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对称性，可得函数f（x）在y轴右边的图象并写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，（x∈[1，2]）（a∈R为常数），分类讨论，求函数g（x）的最小值及最大值．

解答 解：（1）图象如图所示，解析式为$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x}&{x≤0}\\{{x^2}-2x}&{x≥0}\end{array}}\right.$
（2）∵x∈[1，2]∴f（x）=x²-2xg（x）=x²-2（a+1）x+2x∈[1，2]
①当a+1＜1即a＜0时，g（x）在[1，2]单调递增，故g（x）_min=g（1）=1-2a
②当1≤a+1≤2即0≤a≤1时，$g{（x）_{min}}=g（a）=-{a^2}-2a+2$
③当2＜a+1即1＜a时，g（x）在[1，2]单调递减，故g（x）_min=g（2）=2-4a
所以g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-2a，a＜0}\\{-{a}^{2}-2a+2，0≤a≤1}\\{2-4a，a＞1}\end{array}\right.$；
①当$a+1＜\frac{3}{2}$即$a＜\frac{1}{2}$时，g（x）_max=g（2）=2-4a
②当$a+1≥\frac{3}{2}$即$a≥\frac{1}{2}$时，故g（x）_max=g（1）=1-2a
所以$g{（x）_{max}}=\left\{{\begin{array}{l}{2-4a}&{a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a}&{a≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查偶函数的性质，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．