Question

已知正三棱锥P-ABC的体积为72

3

，侧面与底面所成的二面角的大小为60°．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）求底面中心O到侧面的距离．

Answer 1

分析：（1）取BC边的中点D，连接AD、PD，由三棱锥P-ABC为正三棱锥可得：AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．所以PA⊥BC．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题求点到面的距离可采用找垂面的方法：找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．由（1）可知平面PBC⊥平面APD，则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角．过点O作OE⊥PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离．

解答：（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD，
则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．∴PA⊥BC．
（2）解：如图，由（1）可知平面PBC⊥平面APD，
则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角．
过点O作OE⊥PD，?E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离．
设OE为h，由题意可知点O在AD上，
∴∠PDO=60°，OP=2h．
∵?OD=

2h

3

，?∴?BC=4h，
∴S△ABC=

3

4

(4h)2=4

3

h2，
∵72

3

=

1

3

•4

3

h2•2h=

8 3

3

h3，∴h=3．
即底面中心O到侧面的距离为3．

点评：本小题主要考查棱锥，线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．