Question

8．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若关于x的方程$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$在（-∞，0）∪（0，+∞）上有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的开口方向和对称轴可知f（x）在[2，3]上是增函数，根据最值列出方程组解出a，b；
（2）令|2^x-1|=t，得到关于t的二次函数h（t），结合t=|2^x-1|的函数图象可判断h（t）的零点分布情况，列出不等式组解出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=a（x-1）²+1+b-a．∵a＞0，所以f（x）在[2，3]上为增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}f（2）=1\\ f（3）=4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4a-4a+1+b=1\\ 9a-6a+1+b=4.\end{array}\right.$
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}-2$，∴g（|2^x-1|）=|2^x-1|+$\frac{1}{|{2}^{x}-1|}$-2．
∵$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$，∴$|{{2^x}-1}|+\frac{1+2k}{{|{{2^x}-1}|}}-（2+3k）=0$，
即|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0．   
令|2^x-1|=t，则方程可化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t＞0），
由方程$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$在（-∞，0）∪（0，+∞）上有三个不同的实数解，
结合t=|2^x-1|的图象（如右图）可知，
方程t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁，t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
记h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），则$\left\{\begin{array}{l}h（0）=1+2k＞0\\ h（1）=-k＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}h（0）=1+2k＞0\\ h（1）=-k=0\\ 0＜\frac{2+3k}{2}＜1.\end{array}\right.$．
解得k＞0．

点评 本题考查了二次函数的单调性，二次函数零点分布与系数的关系，属于中档题．